Bir teoremin ne olduğunu, işlevini ve parçalarının neler olduğunu açıklıyoruz. Ayrıca Pisagor, Thales, Bayes ve diğerlerinin teoremleri.
Teorem nedir?
Bir teorem bir önerme belirli varsayımlara dayalı olarak veya hipotez, aşikar olmayan bir tezi test edilebilir bir şekilde ileri sürebilir (çünkü bu durumda aksiyom). içinde çok yaygınlar resmi diller, gibi matematik dalga mantık, çünkü belirli biçimsel kuralların veya “oyun” kurallarının telaffuzunu oluştururlar.
Teoremler, yalnızca bina ve çözüm, aynı zamanda kanıtlamak için temel anahtarları da sağlar. Teoremlerin ispatı aslında matematiksel mantığın önemli bir parçasıdır, çünkü diğerleri bir teoremden türetilebilir ve böylece biçimsel sistem bilgisini genişletebilir.
Bununla birlikte, matematiksel çalışmalar alanında, "teorem" terimi yalnızca akademik camianın özel ilgi alanına giren önermeler için kullanılır. Buna karşılık, birinci dereceden mantıkta, kanıtlanabilir herhangi bir ifadenin kendisi bir teoremdir.
"Teorem" kelimesi Yunancadan gelmektedir. teorem, fiilden türetilmiş teori, "teori" kelimesinin de geldiği "teori", "yargılama" veya "yansıtma" anlamına gelir.
Eski Yunanlılar için bir teorem, dikkatli ve dikkatli gözlem ve yansımanın sonucuydu ve zamanın birçok filozofu ve matematikçisi tarafından çok sık kullanılan bir terimdi.Buradan "teorem" ve "problem" terimleri arasındaki akademik ayrım da gelir: ilki teorik, ikincisi pratiktir.
Her teoremin üç bölümü vardır:
- Hipotez herhangi biri bina. Sonucun çıkarılabileceği mantıksal içeriktir ve bu nedenle ondan önce gelir.
- tez veya çözüm. Teoremde belirtilen ve öncüller tarafından önerilenlerden resmi olarak gösterilebilen şeydir.
- Sonuçlar. Bunlar, teoremden elde edilen kesintiler veya ikincil ve ek formülasyonlardır.
Pisagor teoremi
Pisagor teoremi, insanlık tarafından bilinen en eski matematik teoremlerinden biridir. Teoremin çok daha eski, muhtemelen Babil kökenli olduğuna ve bunu ilk kanıtlayanın Pisagor olduğuna inanılsa da, Yunan filozof Samoslu Pisagor'a (MÖ 569 - c. 475) atfedilir.
Bu teorem, verilen bir üçgen dikdörtgen (yani, en az bir dik açısı olan), üçgenin dik açının karşısındaki kenarının (hipotenüs) uzunluğunun karesi her zaman diğer iki kenarın uzunluğunun karesinin toplamına eşit olacaktır. (bacaklar denir). Bu şu şekilde ifade edilir:
Herhangi bir dik üçgende hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşit olacaktır.
Ve aşağıdaki formülle:
a2 + b2 = c2
Neresi a Y b bacakların uzunluğuna eşit ve c hipotenüsün uzunluğuna. Buradan, pratik uygulaması ve cebirsel doğrulaması olan türetilmiş formüller olan üç sonuç da çıkarılabilir:
a = √c2 – b2
b = √c2 – a2
c = √a2 + b2
Pisagor teoremi tarih boyunca birçok kez kanıtlanmıştır: Pisagor'un kendisi ve Öklid, Pappus, Bhaskara, Leonardo da Vinci, Garfield ve diğerleri gibi diğer geometri ve matematikçiler tarafından.
Thales teoremi
Yunan matematikçi Milet'li Thales'e (c. 624 - c. 546 BC) atfedilen bu iki parçalı teorem (veya aynı adı taşıyan bu iki teorem), geometri aşağıdaki gibi üçgenler:
- Thales'in ilk teoremi, bir üçgenin kenarlarından biri paralel bir çizgi ile devam ettirilirse, daha büyük ama aynı oranlarda bir üçgenin elde edileceğini önerir. Bu şu şekilde ifade edilebilir:
Biri büyük diğeri küçük iki orantılı üçgen verildiğinde, büyük üçgenin (A ve B) iki kenarının oranı, her zaman küçük olanın (C ve D) aynı kenarlarının oranına eşit olacaktır.
A/B = C/D
Bu teorem, Yunan tarihçi Herodot'a göre, Thales'e göre, Mısır'daki Keops piramidinin boyutunu, muazzam büyüklükte aletler kullanmak zorunda kalmadan ölçmeye hizmet etti.
- Thales'in ikinci teoremi, çapı AC ve merkezi "O" (A ve C'den farklı) olan bir çevre verildiğinde, ABC dik üçgeninin şu şekilde oluşturulabileceğini önerir.
Bundan iki sonuç çıkar:
- Herhangi bir dik üçgende, hipotenüse karşılık gelen medyanın uzunluğu her zaman hipotenüsün yarısıdır.
- Herhangi bir dik üçgenin çevrelenmiş çevresi her zaman hipotenüsün yarısına eşit bir yarıçapa sahiptir ve çevre merkezi hipotenüsün orta noktasında yer alacaktır.
Bayes teoremi
Bayes teoremi İngiliz matematikçi Thomas Bayes (1702-1761) tarafından önerildi ve 1763'te ölümünden sonra yayınlandı. Bu teorem, "A verilen B" olayının meydana gelme olasılığını ve bunun "A verilen B" olayının olasılığı ile ilişkisini ifade eder. ”. Bu teorem, teoride çok önemlidir. olasılık, ve aşağıdaki gibi formüle edilir:
Bu, toplam olasılık teoreminin tersine, meydana gelmesi için belirli bir gerekli koşulu karşıladığını biliyorsak, bir (A) olayının olasılığını hesaplamanın mümkün olduğu anlamına gelir.
Bilinen diğer teoremler
Diğer ünlü teoremler şunlardır:
- Ptolemy teoremi. Her çevrimsel dörtgende, karşılıklı kenar çiftlerinin çarpımlarının toplamının köşegenlerinin çarpımına eşit olduğunu kabul eder.
- Euler-Fermat teoremi. Evet olduğunu savunuyor a Y n vardır tam sayılar akraba kuzenler o zaman n bölünür aᵩ(n)-1.
- Lagrange teoremi. Evet olduğunu savunuyor F [a, b] kapalı aralığında sürekli bir fonksiyondur ve açık aralıkta (a, b) türevlenebilirse, o zaman bir nokta vardır c (a, b) noktasında, o noktadaki teğet doğru (a, b) noktalarından geçen kesen doğruya paralel olacak şekilde F(a)) ve (b, F(b)).
- Thomas'ın teoremi. İnsanlar bir durumu gerçek olarak kurarlarsa, bu durumun sonuçlarında gerçek olacağını savunuyor.